주사위 5개로 하는 간단한 점수내기 게임, 요트 다이스입니다. 야찌, 야추, 얏찌 등등등 룰도 조금씩 다르고 하지만, 코보게 정발 제품인 <요트 다이스>를 기준으로 알아볼게요!

1. 요트를 언제 외칠 수 있을까?

<요트 다이스>는 주사위를 굴려서 나온 조합을 가지고 점수판에 점수를 적어 서로 경쟁하는 게임입니다.  아마 이런 류 게임 중에서는 <요트 다이스>가 제일 유명하지 않을까 싶어요. 

 위쪽 구역은 특정 주사위 눈금이 몇개 나왔는지에 따라 적는 칸이구요, 밑에 칸은 특정 족보가 나온 경우 규칙에 따라 점수를 얻는 칸입니다. 자세한 내용은 코보게 룰 영상을 참고해주세요 ㅎㅎ....

 

  주사위는 한 차례당 최대 3번까지 던질 수 있습니다. 이때, 원하는 주사위를 키핑해놓고 나머지만 던질 수 있습니다. 만약 1, 1, 1, 1, 1을 노리는데 1, 1, 1, 2, 3이 나왔다면 1이 나온 주사위 3개를 킵 해놓고 나머지 2개만 2번 더 던질 수 있다는 뜻입니다.

이 게임에서 가장 중요한 족보이자 가장 높은 점수를 주는 조합은 "요트"입니다. 같은 수로 5개가 모두 나와야합니다. 이 경우 50점을 획득하며, 요트가 나온 사람이 보통 승리하는 경우가 많죠. 뭐 한 사람이 2번 이상 "요트"가 나오면 보너스 점수를 주는 룰도 있긴한데, 점수가 높은 만큼 2번씩이나 안나오긴 합니다.

  그렇다면 과연 요트가 나올 확률은 얼마일까요? 50점이나 주니까 엄청 낮은 확률일까요? 생각보다 잘 나오진 않았나요?

2. 수학적인 요트 확률

  수학적으로 계산한 "요트"의 확률은 얼마일까요?

먼저, 1번 던졌을 때 바로 요트가 나올 확률은 1/(6^4) = 약 0.077% 입니다. 한 1300번 정도 굴릴 때 1번정도(...) 나오는 수준이죠. 

하지만, 요트에서는 나온 눈을 킵하고 다시 던질 수 있기 때문에 확률은 좀 더 올라갑니다. 

2번 던졌을 때를 계산해봅시다! 

원하는 수가 나올 확률 p = (1/6);
원하지 않는 수가 나올 확률 q = (5/6);

2번만에 요트가 나올 확률은 원하지 않는 수가 0, 1, 2, 3 또는 4개가 나오고 나머지 주사위를 던졌을 때 원하는 수가 나올 확률입니다. 

먼저, 처음에 원하는 숫자 4개가 나오고 나머지 하나를 던져서 요트가 되는 상황을 생각해봅시다. 이항정리를 이용하면 편합니다.
 6* 5C1*(p^4)*q*(1/6) = 0.32% 입니다.

마찬가지로 처음에 0개일 때, 1개일 때 ... 쭉 계산해주면 2번만에 요트가 나올 확률은 약 1.23%임을 알 수 있습니다.

이와 같은 방식(노가다)으로 3번만에 나올 확률을 계산해주면 3번만에 요트가 나올 확률은 3.43%임을 알 수 있습니다.

따라서, 한 턴에 요트가 나올 확률은 약 4.61%입니다. 약 22번 던질때마다 1번 정도 나오는 꼴이죠!

<요트 다이스> 기준 한 사람 당 12번 던지니까 4인 게임 기준 2번 정도 뜨게 됩니다.

여담으로, "요트"의 점수가 50점이고, 확률이 4.61%이니 "요트"칸 점수의 기댓값은 2.3점입니다. 


3. 정말 22번에 1번 꼴이 맞을까? 더 적게 나온 것 같은데?

  4.6%면 2인이 플레이해도 적어도 1번꼴로는 "요트"가 떠야 정상입니다. 하지만, 경험상 "요트"는 그렇게 많이 뜨지 않습니다. 5인 게임에서도 많아야 1~2번이 전부였죠.

  그 이유는 인간의 심리에 따라 달려있습니다. 위의 계산법은 "1이 1개가 나와도 나머지 4개를 굴려서 요트를 노리는" 상황을 가정합니다. 실제로는 그럴일이 없겠죠?

  여러분이 4, 4, 5, 5, 6이 나왔다고 했을 때, (5, 5, 6)을 다시 굴려서 요트를 노리는 것보다는 6 하나 더 굴려서 고득점 풀하우스를 노리는 것이 좀 더 좋다는 판단을 하게 될 것입니다.

  또, 라지 스트레이트와 스몰 스트레이트라는 시스템때문에 사람들은 페어가 나와도 버리는 상황이 잘 발생하게 됩니다. 이것 때문에 실제 "요트"는 더 덜 나오게 됩니다. 

  마지막으로, 사람 심리상 "요트"는 가장 마지막에 노리게 됩니다. 확률에 따른 점수(기댓값)가 가장 낮다고 판단하기 때문에 일종의 "보너스"로 여기는 경향이 큽니다. 누가 게임 중간에 "요트"노리고 주사위 다 던지나요! 보통은 마지막 판에 우주의 기운을 받아 요트를 굴리는 경우가 많습니다. 위에서 계산했듯이 기댓값이 2.3점밖에 안되기 때문이죠! 이는 "요트"를 노리고 던져서 획득하는 점수 평균이 2.3점이란 뜻입니다. 이런 사람은 없겠지만요.

4. <요트 다이스>에서의 기댓값

"요트"가 생각보다 기댓값이 낮았군요! 4.61%보다도 낮은 확률을 보상하기 위해서는 50점보다 더 줘야할 것 같은데 말입니다. 그럼 가장 높은 기댓값을 갖는 것은 무엇일까요?

다음 표는 각 항목별 기댓값을 나타냅니다.

종류	점수
에이스	2.11
듀얼	4.21
트리플	6.32
쿼드	8.43
펜타	10.53
헥사	12.64
초이스	23.33
포커	5.61
풀하우스	9.15
스몰 스트레이트	18.48
라지 스트레이트	10.61
요트	2.3

이름값답게 "초이스"가 23점으로 가장 높고, 그 다음으로 스몰 스트레이트, 헥사, 펜타가 뒤를 잇네요. 이 말은 스몰 스트레이트는 나오는 확률에 비해 많은 점수를 얻을 수 있다는 뜻입니다.



5. 믿을만한 확률인가요?

아니요. 실제 게임은 위와 같이 진행되지 않습니다. 현재 자신이 어떤 것을 노리냐에 따라 저 통계와 계산은 무의미해지죠. 사실 위의 확률보다 "나는 윗부분에서 무조건 63점을 딸거야!"나 "난 무조건 요트를 띄울거야!"같은 전략의 영향이 더 큽니다.

아래 그림은 #1. 전략을 학습시킨 프로그램 #2. 그때그때 최적의 선택을 하는 프로그램(보통 사람들이 이걸 택함) #3. 완전 랜덤하게 선택하는 프로그램 간의 순의 통계입니다.

확연히 #1번의 차이가 있죠? 즉, <요트 다이스>에서 필요한건 주사위, 그리고 전략이었습니다. 물론 전략이 아무리 좋아도 위 그림처럼 40%는 그때그때 최적의 선택을 하는 사람에게 패배합니다. 전략과 운의 요소가 약 5:5인 갓겜...


  <요트 다이스> 분석은 여기까지입니다. 사실 이 확률을 안다고 해도 여러분의 승률은 크게 달라지지 않을겁니다. ㅎㅎ 그치만 "왜 이렇게 안나와 흑흑"하면서 절망하기보다는 "아 4%보다도 적은 확률이니 그럴 수 있지"하는게 좋지 않을까요!

기회가 되면 다른 보드게임에 대해서도 다뤄보고 싶네요. 피드백은 환영입니다!!

참고 사이트: https://www.yahtzeemanifesto.com/yahtzee-odds.php